Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E．

（1）求證：∠A=∠ADE；

（2）若AD=16，DE=10，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）15．

【解析】

試題分析：（1）只要證明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解決問題；

（2）首先證明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，設BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解決問題；

試題解析：（1）證明：連接OD，∵DE是切線，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．

（2）連接CD．

∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，設BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC= =15．