Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB邊上的一個動點（異于A、B兩點），過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N．設AP=x．
（1）在△ABC中，AB=

 

；
（2）當x=

 

時，矩形PMCN的周長是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等？請說出你的判斷，并加以說明．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求AB；
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到

PM

BC

=

AP

AB

，

PN

AC

=

BP

AB

，將AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN關于x的表達式．再由矩形周長=2（PM+PN），求出x的值．
（3）當P為AB的中點時，△PAM的面積與△PBN的面積才相等，再求出矩形PMCN的面積，進行判斷．

解答：解：（1）∵△ABC為直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．

（2）∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC   AC∥PN（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴

PM

BC

=

AP

AB

，

PN

AC

=

BP

AB

∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴PM=

BC•AP

AB

=

6

10

x=

3

5

x
PN=

AC•BP

AB

=

8

10

(10-x)=

4(10-x)

5

=8-

4x

5

∴矩形PMCN周長=2（PM+PN）=2（

3

5

x+8-

4

5

x）=14．
∴x=5．

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴當P為AB中點，即AP=PB時，△AMP≌△PNB，
此時，S_△AMP=S_△PNB=

1

2

AM•MP=

1

2

×4×3=6，
而矩形PMCN面積=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN面積同時相等的x的值．

點評：本題考查了相似三角形性質、面積和矩形面積．