Question

已知：O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如圖1．若∠AOC=30°．求∠DOE的度數；
（2）在圖1中，若∠AOC=a，直接寫出∠DOE的度數（用含a的代數式表示）；
（3）將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系．寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根據角平分線求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根據角平分線求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（3）把∠AOC當作已知數求出∠BOC，求出∠BOD，根據角平分線求出∠BOE，代入∠DOE=∠BO+∠BOD求出即可．

解答：解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-90°-30°=60°，
∴∠COB=90°+60°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=75°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°．

（2）∵∠COD是直角，∠AOC=α，
∴∠BOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COB=90°+90°-α=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=90°-

1

2

α，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-

1

2

α-（90°-α）=

1

2

α．

（3）∠AOC=2∠DOE，
理由是：∵∠BOC=180°-∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=90°-

1

2

∠AOC，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-∠BOC=90°-（180°-∠AOC）=∠AOC-90°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=（∠AOC-90°）+（90°-

1

2

∠AOC）=

1

2

∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．

點評：本題考查了角的有關計算和角平分線定義的應用，主要考查學生的計算能力，求解過程類似．