Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．

（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半徑；

（2）過點E作弦EF⊥AB于M，連接AF，若∠F=2∠B，求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OE，設圓的半徑為r，在之間三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據BC與圓相切，得到OE垂直于BC，進而得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩角相等的三角形相似得到三角形BOE與三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；

試題解析：（1）解：連接OE，設圓O半徑為人，

在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，

根據勾股定理得：AB=12，

∵BC與圓O相切，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BOE∽△BCA，

∴，即，

解得：r=；

（2）∵，∠F=2∠B，

∴∠AOE=2∠F=4∠B，

∵∠AOE=∠OEB+∠B，

∴∠B=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，

∴CB∥AF，

∴四邊形ACEF為平行四邊形，

∵∠CAB=90°，OA為半徑，

∴CA為圓O的切線，

∵BC為圓O的切線，

∴CA=CE，

∴平行四邊形ACEF為菱形．