Question

已知關于x的方程，
（1）求證：無論k取任意實數值，方程總有實數根；（4分）
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝3，另兩邊長b、c恰是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.（6分）

Answer 1

（1）證明見解析；（2）7或8．

試題分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實數根；（2）根據等腰三角形的性質分情況討論求出b，c的長，并根據三角形三邊關系檢驗，綜合后求出△ABC的周長．
試題解析：（1）∵，
∴無論k取任意實數值，方程總有實數根．
（2）分兩種情況：
①若b=c，
∵方程有兩個相等的實數根，
∴，解得k=2.
∴此時方程為=0，解得x₁=x₂=2.
∴△ABC的周長為7.
②若b≠c，則b=a=3或c=a=3，即方程有一根為3，
∵把x=1代入方程，得，解得k=3.
∴此時方程為，解得x₁=2，x₂="3" ∴方程另一根為2.
∴△ABC的周長為8．
綜上所述，所求△ABC的周長為7或8．