Question

【題目】

如圖，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝，點P是AC邊上一動點（不與點A、C重合），以PA長為半徑的⊙P與邊AB的另一個交點為D，過點D作DE⊥CB于點E．

（1）當⊙P與邊BC相切時，求⊙P的半徑．

（2）連接BP交DE于點F，設AP的長為x，PF的長為y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，當以PE長為直徑的⊙Q與⊙P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

（1）設⊙P與邊BC相切的切點為H，圓的半徑為R，連接HP，則HP⊥BC，cosC＝，則sinC＝，sinC＝＝＝，即可求解；

（2）首先證明PD∥BE，則，即：，即可求解；

（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝4，即可求解．

（1）設⊙P與邊BC相切的切點為H，圓的半徑為R，

連接HP，則HP⊥BC，cosC＝，則sinC＝，

sinC＝＝＝，解得：R＝；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝，

設AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，過點B作BH⊥AC，

則BH＝ACsinC＝8，

同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝4，則：tan∠CAB＝2，

BP＝＝，

DA＝x，則BD＝4﹣x，

如下圖所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，

tanβ＝2，則cosβ＝，sinβ＝，

EB＝BDcosβ＝（4﹣x）×＝4﹣x，

∴PD∥BE，

∴，即：，

整理得：y＝；

（3）以EP為直徑作圓Q如下圖所示，

兩個圓交于點G，則PG＝PQ，即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D，

GD為相交所得的公共弦，

∵點Q是弧GD的中點，

∴DG⊥EP，

∵AG是圓P的直徑，

∴∠GDA＝90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四邊形PDBE為平行四邊形，

∴AG＝EP＝BD，

∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝4，

設圓的半徑為r，在△ADG中，

AD＝2rcosβ＝，DG＝，AG＝2r，

+2r＝4，解得：2r＝，

則：DG＝＝50﹣10，

相交所得的公共弦的長為50﹣10．