Question

【題目】如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．

（1）求證：是的中點；

（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADBF是矩形，證明見解析．

【解析】

（1）先由AF∥BC，利用平行線的性質可證∠AFE=∠DCE，而E是AD中點，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可證△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，從而有BD=CD；
（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF∥DB，AF=DB，易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

證明：（1）∵E是AD中點，

∴AE=DE

∵AF‖BC，

∴∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠EDC

在△AFE和△DCE中，

∴△AFE≌△DCE，

∴AF=DC

又∵AF=DB，

∴DC=BD，

∴點D是BC的中點

（2）四邊形ADBF是矩形

∵AF∥DB，AF=DB，

∴四邊形ADBF是平行四邊形．

又∵AB=AC，

D為BC中點，

∴AD⊥BC，

∴四邊形ADBF是矩形.