Question

【題目】如圖，函數的圖象經過，，其中，過點A作x軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的垂線，垂足為D，連結AD，DC，CB，AC與BD相交于點E．

（1）若的面積為4，求點B的坐標；

（2）四邊形ABCD能否成為平行四邊形，若能，求點B的坐標，若不能說明理由；

（3）當時，求證：四邊形ABCD是等腰梯形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能, ;（3）詳見解析.

【解析】

（1）將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B的坐標代入反比例解析式中，求出mn的值，三角形ABD的面積由BD為底邊，AE為高，利用三角形面積公式來求，由B的坐標得到BD=m，由AC-EC表示出AE，由已知的面積，利用面積公式列出關系式，將mn的值代入，求出m的值，進而確定出n的值，即可得到B的坐標；

（2）假設四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到BD與AC互相平分，得到E為AC的中點，E為BD的中點，由A的坐標求出E的坐標，進而確定出B的坐標，將B坐標代入反比例解析式檢驗，B在反比例圖象上，故假設正確，四邊形ABCD能為平行四邊形；

（3）由由AC=BD，得到A的縱坐標與B的橫坐標相等，確定出B的橫坐標，將B橫坐標代入反比例解析式中求出B的縱坐標，得到B的坐標，進而確定出E的坐標，得到DE=CE=1，由AC=BD，利用等式的性質得到AE=BE，進而得到兩對對應邊成比例，且由對頂角相等得到夾角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，得到三角形DEC與三角形AEB相似，由相似三角形的對應角相等得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到CD與AB平行，而在直角三角形ADE與直角三角形BEC中，DE=EC，AE=BE，利用勾股定理得到AD=BC，且AD與BC不平行，可得出四邊形ABCD為等腰梯形．

解：（1）；

（2）若ABCD是平行四邊形，則AC，BD互相平分，

∵，∴，

將代入反比例中，；

∴B在上，則四邊形ABCD能成為平行四邊形；

（3）∵，，；

∴

∵軸，軸，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

根據勾股定理，.

∵AD與BC不平行

∴則四邊形ABCD是等腰梯形.