Question

如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設△AQP面積為S（單位：cm²），求S與t的函數關系式
（3）是否存在某時刻t，使四邊形BPQC的面積為△ABC面積的三分之二？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？

Answer 1

解析試題分析：
（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°兩種情況，利用∠A的余弦列式計算即可得解；
（2）先求出△ABC的面積，然后利用∠A的正弦求出點P到AQ的距離，再根據△APQ的面積公式列出方程，然后求出根的判別式△＜0，確定不存在；
（3）根據菱形的對角相等，對角線平分一組對角可得關于AB翻折時，∠A=∠APQ，過點Q作QD⊥AB于D，根據等腰三角形三線合一的性質可得AD=AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根據正弦求出DQ，然后根據S菱形=2S△APQ計算即可得解；關于AC翻折時，∠A=∠AQP，過點P作PE⊥AC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE=AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根據正弦求出PE，然后根據S菱形=2S△APQ計算即可得解．
（4）首先根據菱形的性質及相似三角形比例線段關系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，求得時間t的值；最后求菱形的面積，值得注意的是菱形的面積等于△AQP面積的2倍，從而可以利用（2）中△AQP面積的表達式，這樣可以化簡計算．
試題解析：
解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，∠C為直角．
（1）BP=2t，則AP=10﹣2t．
∵PQ∥BC，
∴，即，解得t=，
∵當t=s時，PQ∥BC．
（2）如答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D．
∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t．
S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t²+6t=﹣（t﹣）²+，
∴當t=s時，S取得最大值，最大值為cm²．
（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=S_△ABC，而S_△ABC=AC·BC=24，∴此時S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，
∴﹣t²+6t=12，化簡得：t²﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）²﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解，
∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．
（4）假設存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．
如答圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC，
∴，即，
解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，
∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8﹣t）²+（6﹣t）²=（2t）²，
化簡得：13t²﹣90t+125=0，解得：t₁=5，t₂=，
∵t=5s時，AQ=10cm＞AC，不符合題意，舍去，∴t=．
考點： 1.二次函數的解析式及二次函數的應用，2.二次函數的最大值和最小值，3.菱形的性質及判定