Question

如圖，拋物線（a≠0）經過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點M．

（1）求拋物線的表達式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）點D的坐標為
（3）滿足條件的點P的坐標為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。

分析：（1）把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關于系數的三元一次方程組，通過解該方程組即可求得系數的值。
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標為（0，1）．所以利用待定系數法即可求得直線AM的關系式為。由題意設點D的坐標為，則點F的坐標為，易求DF關于的函數表達式，根據二次函數最值原理來求線段DF的最大值。
（3）對點P的位置進行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應邊成比例進行解答。
解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1）代入得，
．解得。
∴拋物線的表達式為。
（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的坐標為（0，1）。
設直線MA的表達式為y=kx+b，

則，解得。
∴直線MA的表達式為。
設點D的坐標為，
則點F的坐標為。
∴。
∴當時，DF的最大值為。
此時，即點D的坐標為。
（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似。
設P，
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限。
①設點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3或m=﹣8。
∵此時﹣3＜m＜0，∴此時滿足條件的點不存在。
②當點P在第三象限時，
∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。
當m=﹣8時，，∴此時點P的坐標為（﹣8，﹣15）。

③當點P在第四象限時，
若AN=3PN時，則，
即m²+m﹣6=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=2。
當m=2時，，
∴此時點P的坐標為（2，）。
若PN=3NA，則，即m²﹣7m﹣30=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=10。
當m=10時，，∴此時點P的坐標為（10，﹣39）。
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。