Question

著名數學教育家G．波利亞，有句名言：“發現問題比解決問題更重要”，這句話啟發我們：要想學好數學，就需要觀察，發現問題，探索問題的規律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先觀察、計算再填空．
已知：如圖，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
（1）當∠AOC=90°，∠BOC=70°時，∠MON=______；
（2）當∠AOC=80°，∠BOC=60°時，∠MON=______；
（3）當∠AOC=70°，∠BOC=50°時，∠MON=______；
（4）猜想：不論∠AOC和∠BOC的度數是多少，∠MON的度數總等于______度數的一半．

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠AOB=75°，
∴∠MOC=90°-75°=15°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=15°+30°=45°，
故答案為：45°；

（2）∵∠AOC=80°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=80°+60°=140°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠AOB=70°，
∴∠MOC=80°-70°=10°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+30°=40°，
故答案為：43°；

（3）∵∠AOC=70°，∠BOC=50°，
∴∠AOB=70°+50°=120°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠AOB=60°，
∴∠MOC=70°-60°=10°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=25°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+25°=35°，
故答案為：35°；

（4）由以上（1）（2）（3）得出結論∠MON=∠AOC，
故答案為：∠AOC．
分析：（1）已知∠AOC，∠BOC，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC；則得到∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠MOB，要求∠MON，先求出∠MOC和∠NOC；
（2）由OM平分∠AOB，求出∠AOM，再求出∠MOC，再由ON平分∠BOC求出∠NOC，從而求出∠MON；
（3）已知OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以可求出∠AOM，∠NOC，再求出∠MOC，從而求出∠MON；
（4）由（1）（2）（3）可得出結論．
點評：此題考查的知識點是角平分線的定義及角的計算，關鍵是根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．