Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E.

（1）求證：MD=ME

（2）填空：①若AB=6，當AD=2DM時，DE=___________；

②連接OD，OE，當∠A的度數為____________時，四邊形ODME是菱形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（2）①2；②60°.

【解析】

試題分析：（1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得MA=MB，即可得∠A=∠MBA,再由∠ADE+∠ABE=180°，∠ADE+∠MDE=180°可得∠MDE=∠MBA.用同樣的方法可得∠MDE=∠A.所以∠MDE=∠MED,即可得MD=ME.（2）①由MD=ME,又MA=MB, 可得DE∥AB，所以,又AD=2DM，即,所以,可得DE=2；②當∠A=600時, △AOD是等邊三角形，這時∠DOE=600, △ODE和△MDE都是等邊三角形，且全等。四邊形ODME是菱形。

試題解析：（1）在Rt△ABC中，點M是AC的中點，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA,

∵四邊形ABDE是園內接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

又因∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA.

同理可得∠MDE=∠A.

∴∠MDE=∠MED,

∴MD=ME.

（2）①2；②60°.