Question

（2009•路北區一模）看圖回答下面問題：
（1）如下圖，已知：直線m∥n，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．請寫出圖中，△ABC和△ABP面積之間的數量關系；

（2）如下圖，邊長為6的正三角形ABC，P是BC邊上一點，且PB=1，以PB為一邊作正三角形PBD，求△ADC的面積；

（3）如下圖，邊長為6的正三角形ABC，P是BC邊上一點，且PB=2，以PB為一邊作正三角形PBD，求△ADC的面積；

（4）根據上述計算的結果，你發現了怎樣的規律？提出自己的猜想并依據下圖予以證明；

（5）如下圖，有一塊正三角形的草皮ABC，由于某種原因，需要將三角形草皮ABE移植到三角形的草皮AEC的右側，成為一塊新的三角形草皮ADC（A、E、D三點要在一條直線上），并保持其面積不變，請你畫圖說明如何確定點D的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩條平行線間的距離處處相等，可知這兩個三角形是同底等高的，則兩個三角形的面積相等；
（2）根據∠ACB=∠CBD=60°，得AC∥BD．根據（1）中的結論，可以證明要求的三角形的面積等于大等邊三角形的面積；
（3）和（2）的思路相同；
（4）在上述求解的過程中，即可發現結論；
（5）根據上述結論，只需保證BD∥AC即可．
解答：解：（1）相等；

（2）根據題意，得∠CBD=∠ACB，
∴AC∥BD，
∴三角形ABD和三角形CBD的面積相等，
∴三角形ADC的面積=等邊三角形ABC的面積，
根據等腰三角形的三線合一以及勾股定理，得其高是3，
∴等邊三角形ABC的面積=3×3=9；

（3）根據（2）的過程，同理得三角形ADC的面積=9；

（4）△ADC的面積總等于△ABC的面積．
證明如下：
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DBC=60°，
∴BD∥AC，
∴點B到AC的距離與點D到直線AC的距離相等，
∴S_△ADC=S_△ABC（同底等高），
∵S_△ABC=，
∴S_△ADC=9；

（5）作BD∥AC，交AE的延長線于點D，連接CD即可．
點評：注意證明三角形面積相等的方法：等底等高的兩個三角形的面積相等．