Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數式表示x₂－x₁，并求出當S=36時點A₁的坐標；
（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
  

Answer 1

（1）對稱軸：直線x=1，解析式：y=x²-x，頂點坐標：M（1，-）．(2) A₁（6，3）．(3) t=.

試題分析：（1）已知了O、A、B的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式，進而可得到其對稱軸方程和頂點M的坐標．
（2）在兩條直線平移的過程中，梯形的上下底發生了改變，但是梯形的高沒有變化，仍為3，即y₂-y₁=3，可根據拋物線的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后聯立y₂-y₁=3，可得到第一個關于x₁、x₂的關系式①；在兩條直線平移過程中，拋物線的對稱軸沒有變化，可用x₁、x₂以及拋物線的對稱軸解析式表示出梯形上下底的長，進而可得到梯形面積的表達式，這樣可得到另外一個x₁、x₂的關系式②，聯立兩個關系式，即可得到關于（x₂-x₁）與S的關系式③，將S=36代入②③的關系式中，即可列方程組求得x₁、x₂的值，進而可求出A點的坐標．
（3）要解答此題，首先要弄清幾個關鍵點：
一、當PQ∥AB時，設直線AB與拋物線對稱軸的交點為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長，而E點坐標易求得，根據相似三角形所得比例線段，即可得到此時t的值即t=；
二、當P、Q都停止運動時，顯然BC＞DM，所以此時t=DM÷1=3；可分兩種情況討論：
①當0＜t＜時，設直線PQ與直線AB的交點為F，與x軸的交點為G；由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長已求得，可用t表示出DP、DQ的長，根據相似三角形所得比例線段，即可求得此時t的值；
②當＜t＜3 時，方法同①；
在求得t的值后，還要根據各自的取值范圍將不合題意的解舍去．
試題解析：：（1）對稱軸：直線x=1，
解析式：y=x²-x，
頂點坐標：M（1，-）．
（2）由題意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=x₂²-x₂-x₁²+x₁=3，
得：（x₂-x₁）[（x₂+x₁）-]=3①，
s==3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=（S＞0），
當s=36時，，
解得：，
把x₁=6代入拋物線解析式得y₁=3，
∴點A₁（6，3）．
（3）存在
易知直線AB的解析式為y=x-，可得直線AB與對稱軸的交點E的坐標為（1，-），
∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，
當PQ∥AB時，，即，
得t=，
下面分兩種情況討論：設直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G；
當0＜t＜時，如圖1-1；
∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，
∴，
∴，
得t=＞，
∴t=（舍去）；
當＜t＜3時，如圖1-2；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，
∴
∴，
∴t=；
∴當t=秒時，使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．