Question

【題目】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．

（1）觀察猜想

如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為： ．

②BC，CD，CF之間的數量關系為： ；（將結論直接寫在橫線上）

（2）數學思考

如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．

（3）拓展延伸

如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=，CD=BC，請求出GE的長．

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）成立；（3）．

【解析】分析：（1）①根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；

（2）根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論

（3）根據等腰直角三角形的性質得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據正方形的性質得到AD=DE，∠ADE=90°，根據矩形的性質得到NE=CM，EM=CN，由角的性質得到∠ADH=∠DEM，根據全等三角形的性質得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據等腰直角三角形的性質得到CG=BC=4，根據勾股定理即可得到結論．

（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，∵AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

故答案為：垂直；

②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；

故答案為：BC=CF+CD；

（2）成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，∵AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；

（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，∵∠ADH=∠DEM，∠AHD=∠DME，AD=DE，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．