Question

【題目】【問題提出】

平面上，若點P與A、B、C三點中的任意兩點均構成等腰三角形，則稱點P是A、B、C三點的巧妙點．若A、B、C三點構成三角形，也稱點P是△ABC的巧妙點．

【初步思考】

（1）如圖①，在等邊△ABC的內(nèi)部和外部各作一個△ABC的巧妙點．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，點D、E是△ABC的兩個巧妙點，其中AD＝AB，AE＝AC，BD＝BC＝CE，連接DE，分別交AB、AC于點M、N．求證： DA2＝DB·DE．

【深入研究】

（3）在△ABC中，AB＝AC，若存在一點P，使PB＝BA，PA＝PC．點P可能為△ABC的巧妙點嗎？若可能，請畫出示意圖，并直接寫出∠BAC的度數(shù)；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；

（2）證明見解析；

（3）點P能為△ABC的巧妙點，畫出示意圖見解析，畫圖見解析， ， ， 或

【解析】（1）根據(jù)“巧妙點”的定義利用：點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，所以點P是三角形的外心；點P在三角形的外部時，每條邊的垂直平分線上的點只要能夠使頂點這條邊的兩端點連接而成的三角形是等腰三角形即可；（2）先證明△ADB≌△ABC，△ACE≌△ABC，得到相等的角，再證明∠BMD=∠ABD，得到DB=DM．最后證明△DAM∽△DEA，得到，即DA=DMDE，由DM=DB，所以DA=DBDE．

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一點P，使PB=BA，PA=PC．點P能為△ABC的巧妙點，分別畫出圖形即可解答．

本題解析：（1） 如下圖

（2）

∴

∴

∴

∴ ∴ ,

又 ∵ ∴ DA2＝DB·DE

（3）第一種如圖①或②（只需畫出一個即可），

第二種如圖③，

第三種如圖④，

第四種如圖⑤，