Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點E，F，與AB分別交于點G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點D，則CD的長為 ．

Answer 1

【答案】
a
【解析】解：如圖，連接OE、OF，
∵由切線的性質可得OE=OF=⊙O的半徑，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面積可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF，
∴OE=OF= a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割線定理可得BF2=BHBG，
∴ a2=BH（BH+a），
∴BH= a或BH= a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴ = ，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a．
故答案為： a．

連接OE、OF，由切線的性質結合結合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為0.5a，則BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割線定理可得BF2=BHBG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性質即可求出BH=BD，最終由CD=BC+BD，即可求出答案．