Question

【題目】閱讀下列材料，然后解答問題．

經過正四邊形(即正方形)各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內接正四邊形．

如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2．以圓心O為頂點作∠MON，使∠MON＝90°．將∠MON繞點O旋轉，OM、ON分別與⊙O交于點E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點G、H．設由OE、OF、及正方形ABCD的邊圍成的圖形(陰影部分)的面積為S．

（1）當OM經過點A時(如圖①)，則S、S1、S2之間的關系為： (用含S1、S2的代數式表示)；

（2）當OM⊥AB于G時(如圖②)，則(1)中的結論仍然成立嗎？請說明理由；

（3）當∠MON旋轉到任意位置時（如圖③），則（1）中的結論任然成立嗎：請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）（1）中的結論仍然成立，理由見解析；

（2）（1）中的結論仍然成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）結合正方形的性質及等腰直角三角形的性質，容易得出結論；

（2）仍然成立，可證得四邊形OGHB為正方形，則可求出陰影部分的面積為扇形OEF的面積減去正方形OGBH的面積；

（3）仍然成立，過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，則可證明△ORG≌△OSH，可得出四邊形ORBS的面積=四邊形OGBH的面積，再利用扇形OEF的面積減正方形ORBS的面積即可得出結論．

試題解析：（1）當OM經過點A時由正方形的性質可知：∠MON=90°，

∴S△OAB=S正方形ABCD=S2，S扇形OEF=S圓O=S1，

∴S=S扇形OEF-S△OAB=S圓O-S正方形ABCD=S1-S2=（S1-S2），

（2）結論仍然成立，理由如下：

∵∠EOF=90°，

∴S扇形OEF=S圓O=S1

∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，

∴四邊形OGBH為矩形，

∵OM⊥AB，

∴BG=AB=BC=BH，

∴四邊形OGBH為正方形，

∴S四邊形OGBH=BG2=（AB）2=S2，

∴S=S扇形OEF-S四邊形OGBH=S1-S2=（S1-S2）；

（3）（1）中的結論仍然成立，理由如下：

∵∠EOF=90°，

∴S扇形OEF=S圓O=，

過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，

由（2）可知四邊形ORBS為正方形，

∴OR=OS，

∵∠ROS=90°，∠MON=90°，

∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，

在△ROG和△SOH中，

，

∴△ROG≌△SOH（ASA），

∴S△ORG=S△OSH，

∴S四邊形OGBH=S正方形ORBS，

由（2）可知S正方形ORBS=S2，

∴S四邊形OGBH=S2，

∴S=S扇形OEF-S四邊形OGBH=（S1-S2）．