Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線y=x²-x-2過A、B、C三點，在對稱軸上存在點P，以P、A、C為頂
點三角形為直角三角形．則點P的坐標是______．

Answer 1

∵拋物線y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴拋物線的對稱軸為直線x=

1

2

，
令y=0，則x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
令x=0，則y=-2，
∴點C（0，-2），
∴OC=2，
①∠PAC=90°時，如圖1，設PA與y軸的交點為D，
∵∠DAO+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠DAO=∠ACO，
又∵∠AOC=∠DOA=90°，
∴△ACO∽△DAO，
∴

OA

OD

=

OC

OA

，
即

1

OD

=

2

1

，
解得OD=

1

2

，
所以，點D（0，

1

2

），
設直線AP解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 b= 1 2

，
解得

k= 1 2 b= 1 2

，
所以，直線AP的解析式為y=

1

2

x+

1

2

，
當x=

1

2

時，y=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
所以，點P的坐標為（

1

2

，

3

4

）；
②∠PCA=90°時，如圖2，設CP的延長線與x軸相交于點D，
同①可求△ACO∽△CDO，
所以，

OA

OC

=

OC

OD

，
即

1

2

=

2

OD

，
解得OD=4，
所以，點D（4，0），
設直線CP的解析式為y=mx+n，
則

n=-2 4m+n=0

，
解得

m= 1 2 n=-2

，
所以，直線CP的解析式為y=

1

2

x-2，
當x=

1

2

時，y=

1

2

×

1

2

-2=-

7

4

，
所以，點P的坐標為（

1

2

，-

7

4

）；
③∠APC=90°時，如圖3，設拋物線對稱軸與x軸相交于點D，過點C作CE⊥PD于點E，
∵拋物線對稱軸為直線x=

1

2

，
∴AD=

1

2

-（-1）=

3

2

，CE=

1

2

，
設PD=a，則PE=PE-PD=OC-PD=2-a，
∵∠PAD+∠APD=90°，∠APD+∠CPE=90°，
∴∠PAD=∠CPE，
又∵∠ADP=∠PEC=90°，
∴△APD∽△PCE，
∴

AD

PE

=

PD

CE

，
即

3 2

2-a

=

a

1 2

，
整理得，4a²-8a+3=0，
解得a₁=

1

2

，a₂=

3

2

，
所以，點P的坐標為（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

），
綜上所述，點P的坐標為（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．
故答案為：（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．