Question

（2005•南寧）如圖，點P是圓上的一個動點，弦AB=．PC是∠APB的平分線，∠BAC=30°．
（1）當∠PAC等于多少度時，四邊形PACB有最大面積，最大面積是多少？
（2）當∠PAC等于多少度時，四邊形PACB是梯形，說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PC是∠APB的平分線，可知=，根據直徑所對的圓周角是直角，根據特殊角的三角函數值求出PC的值，即可求出四邊形PACB的面積．
（2）當∠PAC=120°時，根據PC是∠APB的平分線，求出∠PAC與∠APB互補，即AC∥PB且AP與BC不平行，四邊形PACB是梯形；
當∠PAC=60°時，由=可知，AC=BC，又因為∠BAC=30°，所以∠ACB=120°，∠PAC與∠ACB互補，故BC∥AP且AC與PB不平行，四邊形PACB是梯形．
解答：解：（1）∵PC是∠APB的平分線，
∴=．（1分）
當PC是圓的直徑，即∠PAC=90°時，四邊形PACB面積最大．（3分）
在Rt△PAC中，∠APC=30°，AP=PB=AB=，
∴PC==•=2．（4分）
∴S_{四邊形PACB}=2S_△ACP（5分）
=PC•AB=×2×
=．（6分）

（2）當∠PAC=120°時，四邊形PACB是梯形．（7分）
∵PC是∠APB的平分線，
∴∠APC=∠BPC=∠CAB=30°．
∴∠APB=60°．
∴∠PAC+∠APB=180°．
∴AC∥PB且AP與BC不平行．
∴四邊形PACB是梯形．（8分）
當∠PAC=60°時，四邊形PACB是梯形．（9分）
∵=，
∴AC=BC．
又∵∠BAC=30°，
∴∠ACB=120°．
∴∠PAC+∠ACB=180°．
∴BC∥AP且AC與PB不平行．
∴四邊形PACB是梯形．（10分）
點評：本題屬動態性題目，考查的是角平分線的性質，梯形，圓心角、弧、弦的關系及解直角三角形的關系，是一道綜合性較好的題目的題目．