Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動，同時，點Q從點B出發沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，回答下列問題：

（1）當運動開始后1秒時，求△DPQ的面積；

（2）當運動開始后秒時，試判斷△DPQ的形狀；

（3）在運動過程中，存在這樣的時刻，使△DPQ以PD為底的等腰三角形，求出運動時間．

Answer 1

【答案】（1）S△DPQ＝30（cm2）；（2）△DPQ為直角三角形；（3）運動開始后第6﹣18秒時，△DPQ是以PD為底的等腰三角形．

【解析】

（1）根據運動時間求出AP，BQ，利用分割法求△DPQ的面積即可．

（2）分別求出DP2，PQ2，DQ2，進而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；

（3）假設運動開始后第x秒時，滿足條件，則有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，構建方程方程，求出方程的解，根據時間大于0秒小于6秒，即可解答．

解：（1）經過1秒時，AP＝1，BQ＝2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，

∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），

∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．

（2）當t＝秒時，

AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，

∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，

在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，

在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，

∴DQ2+QP2＝117+＝，

∴DQ2+QP2＝DP2，

∴△DPQ為直角三角形；

（3）假設運動開始后第x秒時，滿足條件，則：QP＝QD，

∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，

QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：x2+36x﹣144＝0，

解得：x＝﹣18±6，

∵0＜6﹣18＜6，

∴運動開始后第6﹣18秒時，△DPQ是以PD為底的等腰三角形．