Question

【題目】數學課上林老師出示了問題：如圖，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，點E是邊BC的中點，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．

同學們作了一步又一步的研究：

（1）、經過思考，小明展示了一種解題思路：如圖1，取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）、小穎提出一個新的想法：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（3）、小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、正確；證明過程見解析；（2）、正確；證明過程見解析；（3）、正確；證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）、首先根據題意得出AM=EC，BM=BE，∠BME=45°，∠AME=135°，根據角平分線的性質得出∠DCF=45°，∠ECF=135°，從而說明△AME和△BCF全等，從而得出答案；（2）、在AB上取一點M，使AM=BC，連接ME，然后同第一題同樣的方法證明△AME和△BCF全等，從而得出答案；（3）、在BA的延長線上取一點N．使AN=CE，連接NE，然后證明△ANE和△ECF全等，從而得出答案.

試題解析：（1）、正確．

∵M是AB的中點，E是BC的中點 AB=BC

∴AM=EC BM=BE ∴∠BME=45° ∠AME=135°

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（2）、正確．

在AB上取一點M，使AM=BC，連接ME．

∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（3）、正確．

在BA的延長線上取一點N．使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°

∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF