Question

【題目】如圖1，已知正方形的頂點分別在軸和軸上，邊交軸的正半軸于點．

（1）若，且，求點的坐標；

（2）在（l）的條件下，若，求點的坐標；

（3）如圖2，連結交軸于點，點是點上方軸上一動點，以、為邊作，使點恰好落在邊上，試探討，與的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），見解析

【解析】

（1）根據a值和點A的坐標可求得結果；

（2）作于，再作于，連，證明，得到，再根據得到，EN=1，設，最后利用勾股定理求出m值即可；

（3）過F作FM⊥AB于M，FN⊥AD于N，證明Rt△BFM≌Rt△GFN，得到BF=GF，再證明△BAF≌△DAF，得到BF=DF，再通過勾股定理以及等量代換得到，與的數量關系.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，

即點的坐標為；

（2）解：作于，再作于，連，

則，

∴，

在與中，，

∴，

∴，

∵，

∴，EN=1，

在中，，

在中，，

設，

∴，

∴，

∴；

（3）∵平行四邊形AFGH，

∴GH=AF，GF∥OA，即GF⊥BF，

過F作FM⊥AB于M，FN⊥AD于N，

∵AF平分∠BAD，

∴FM=FN，

又∵∠BAG=∠BFG=90°，

∴∠ABF+∠AGF=180°，

又∵∠DGF+∠AGF=180°，

∴∠MBF=∠NGF，

∴Rt△BFM≌Rt△GFN，

∴BF=GF，

又∵∠BAF=∠DAF=45°，AB=AD，AF=AF，

∴△BAF≌△DAF，

∴BF=DF，

∴GF=DF，

又∵FN⊥DG，

∴DN2=（DG）2，

∴DN2=DG2，

在Rt△AFN中，∠FAN=45°，

∴AN=FN，

∴AF2=AN2+FN2=2FN2，

∴FN2=AF2，

在Rt△DFN中，DF2=DN2+FN2，

∴BF2=DG2+AF2，

∴4BF2=DG2+2AF2，

又∵AF=HG，

∴4BF2=DG2+2HG2.