Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC與Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，且ED∥BC．

（1）求證：△ABC∽△EDC；
（2）若CE=3，CD=4，求CB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴CD=BD，

∴∠DCB=∠B，

∵ED∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠B=∠EDC，

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴△ABC∽△EDC

（2）解：∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，

∴DE= =5，

∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴AB=2CD=8，

∵△ABC∽△EDC，

∴ ，即 ，

∴BC= ．

【解析】（1）根據直角三角形的性質得到CD=BD，由等腰三角形的性質得到∠DCB=∠B，根據平行線的性質得到∠EDC=∠BCD，等量代換得到∠B=∠EDC，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據勾股定理得到DE= =5，由直角三角形的性質得到AB=2CD=8，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．