Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，點D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．
（1）若AD為△ABC的角平分線（如圖1），圖中∠1、∠2有何數量關系？為什么？
（2）若AD為△ABC的高（如圖2），求圖中∠1、∠2的度數．

Answer 1

解：（1）∠1=∠2，
理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠1=∠2；

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠C=30°，
∴∠1=∠ADB-∠BDE=30°，
∵∠FDC=180°-∠DFC-∠C=60°，
∴∠2=∠ADC-∠FDC=60°．
分析：（1）根據已知得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，以及AD平分∠BAC，即可得出∠1=∠2；
（2）首先得出DE∥AC，再利用∠1=∠ADB-∠BDE=30°，進而求出∠FDC=180°-∠DFC-∠C=60°，即可求出∠2=∠ADC-∠FDC的度數．
點評：此題主要考查了三角形內角和定理以及平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的性質與判定是解題關鍵．