Question

如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，3），直線x=-3交x軸于點B，P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交于直線x=-3于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于M，交直線x=-3于點N．
（1）當點C在第二象限時，求證：△OPM≌△PCN；
（2）設AP長為m，以P、O、B、C為頂點的四邊形的面積為S，請求出S與M之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=-3上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可以求出點B的坐標為（-3，0），由點A（0，3）可以得出OB=OA，進而可以得出∠ABO=45°，又MN∥x軸，可以得出∠BPN=45°，從而可以得出BN=PN=MO，再由角相等的關系可以得出△OPM≌△PCN；
（2）由∠BAO=45°及PA=m可以求出PM=NC=

2

2

m，可以求出PN，就可以分為兩種情況表示出S的表達式．
（3）當P點在A點PC∥x軸時或PB=BC=3時△PBC是等腰三角形，由條件可以求出點P的坐標．

解答：（1）證明：∵直線x=-3交x軸于點B，
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∵A點的坐標為（0，3），
∴OA=3，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠ABN=45°
∵MN∥x軸，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
∴∠NPB=∠NBP，
∴PN=BN，
∵MN∥x軸，BN∥y軸，
∴四邊形NBOM是平行四邊形，
∴BN=MO，
∴PN=MO，
∵PC⊥PO，
∴∠CPO=90°，
∴∠NPC+∠OPM=90°，
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠NPC=∠POM，
∴△OPM≌△PCN．
（2）解：如圖1，∵AP=m，由勾股定理得：PM=AM=

2

2

m，
∴PN=3-

2

2

m，作PH⊥x軸于點H，
∴PN=PH，∠NPC=∠HPO，∠PNC=∠PHO，
∴△PNC≌△PHO，
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四邊形POBC}=S_矩形PNBH，
∴S=（3-

2

2

m）²，
如圖2，同理可以求得：
△PNC≌△PHO，
∴CN=HO，NP=HP=3-

2

2

m，
∴BC=

2

m-3
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四邊形POBC}=

3(3- 2 2 m)

2

+

3( 2 m-3)

2

，
=

9

4

2

m．
S=

9

4

2

m（

3

2

2

＜m≤3

2

）；
S=

1

2

m²-3

2

m+9（0≤m≤

3

2

2

）；
（3）解：△PBC可能為等腰三角形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①當P與A重合時，PC=BC=3，此時P（0，3）；
②當點C在第二象限，且PC=CB時，
設AM=a，則PM=a，PN=3-a，BN=MO=3-a，由（1）知NC=PM=a，
∴BC=3-2a，
∴BC²=9-12a+4a²．
∵PC²=a²+（3-a）²=2a²-6a+9，
∴9-12a+4a²=2a²-6a+9，
解得：a₁=0（舍去），a₂=3
∴A點與P點重合．
③當點C在第三象限（如圖），PB=BC時，設AP=n，由條件根據勾股定理可以知道AB=3

2

，AM=PM=

2 n

2

，MO=3-

2 n

2

，
∴BN=3-

2 n

2

，
∵由（1）得，PM=CN，
∴CN=

2 n

2

，
∴PB=3

2

-n，BC=

2 n

2

-(3-

2 n

2

)=

2

n-3，
∴

2

n-3=3

2

-n，
∴n=3
∴PM=

3 2

2

，MO=3-

3 2

2

，
∴（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）
綜上所述：
∴P₁（0，3），P₂（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質．