Question

【題目】如圖1，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，點D在AB邊上，且∠ADC＝45°.

(1)求∠BCD的度數(shù)；

(2)將圖1中的△BCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△BC′D′，當點D′恰好落在BC邊上時，如圖2所示，連接C′C并延長交AB于點E.

①求∠C′CB的度數(shù)；

②求證：△C′BD′≌△CAE.

Answer 1

【答案】（1）15° （2）①75° ②見解析

【解析】【試題分析】

（1）AC＝BC，∠A＝30°，根據(jù)等邊對等角得，∠B＝∠A＝30°.

因為∠ADC＝45°，根據(jù)外角的性質(zhì)得，∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°.

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.

在等腰三角形 中,根據(jù)的內(nèi)角和定理得，∠CC′B＝∠C′CB＝75°.

②在 中，利用外角的性質(zhì)得，∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，

在中，∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.等量代換得，∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.

在△C′BD′和△CAE中，

利用SAS判定得，△C′BD′≌△CAE．

【試題解析】

(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.

∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°.

(2)①由旋轉(zhuǎn)，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.

∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°.

②證明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，

∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.

∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.

在△C′BD′和△CAE中，

∴△C′BD′≌△CAE(ASA)．