Question

如圖，在△ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E．延長AE交△ABC的外接圓于點D，連接BD，CD，CE且∠BDA=60°．
（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；
（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎樣的四邊形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由角平分線定義和三角形內角和定理，可得∠1+∠3=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

（180°-∠ACB）．又由∠ACB=∠BDA=60°，得到∠1+∠3=60°，即∠BED=∠1+∠3=60°．所以△BDE為等邊三角形．
（2）由題意易得△DEC為等邊三角形，從而得出DC=EC=DE=BD=EB，則四邊形BDCE為菱形．

解答：解：（1）△BDE為等邊三角形．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠3=

1

2

∠BAC．
∴∠1+∠3=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

（180°-∠ACB）．
∵弧AB=弧AB，
∴∠ACB=∠BDA（同弧所對圓周角相等），
∵∠BDA=60°
∴∠ACB=60°，
∴∠1+∠3=60°．
∴∠BED=∠1+∠3=60°．
∴△BDE為等邊三角形．

（2）四邊形BDCE為菱形．
∵△BDE為等邊三角形，
∴BD=DE=BE．
∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，
∴∠EDC=60°．
又∵∠3=∠4，
∴BD=DC．
∴DE=DC．
∴△DEC為等邊三角形．
∴DC=EC=DE=BD=EB．
則四邊形BDCE為菱形．

點評：此題主要考查了等邊三角形和菱形的判定，綜合利用了圓周角的性質．