Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的有 （寫出所有正確結論的序號）

①△CMP∽△BPA；

②四邊形AMCB的面積最大值為10；

③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；

④線段AM的最小值為；

⑤當△ABP≌△ADN時，BP=．

Answer 1

【答案】①②⑤．

【解析】

試題分析：①正確，只要證明∠APM=90°即可解決問題．

②正確，設PB=x，構建二次函數，利用二次函數性質解決問題即可．

③錯誤，設ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．

④錯誤，作MG⊥AB于G，因為AM==，所以AG最小時AM最小，構建二次函數，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5．

⑤正確，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，列出方程即可解決問題．

試題解析：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y，在RT△PCN中，解得，∴NE≠EP，故③錯誤，作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小時AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，∴x=1時，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④錯誤．

∵△ABP≌△ADN時，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=，∴PB=故⑤正確．

故答案為：①②⑤．