Question

【題目】如圖，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．

（1）如圖1，當A，B，E三點在同一直線上時，判斷AC與CN數量關系為________；

（2）將圖1中△BCE繞點B逆時針旋轉到圖2位置時，（1）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由；

（3）將圖1中△BCE繞點B逆時針旋轉一周，旋轉過程中△CAN能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉角度；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=CN；（2）成立，證明見解析；（3）△CAN能成為等腰直角三角形，此時旋轉角為60°．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠NEM=∠ADM，由中點的定義可得DM=EM，利用ASA可證明△ADM≌△NEM，可得AD=NE，根據全等三角形的性質可得AD=BC，AB=CE，根據等量代換的NE=BC，由∠BEC=30°，可得∠NEC=∠ABC=120°，利用SAS可證明△ABC≌△NEC，即可證明AC=NC，可得答案；

（2）設旋轉角為α，同（1）可證明△MEN≌△MDA，可得NE=BC，可利用α表示出∠ABC、∠DBE，根據平行線的性質可用α表示出∠CEN，即可得出∠ABC=∠CEN，利用SAS可證明△ABC≌△CEN，即可證明（1）中結論依然成立；

（3）由△CAN為等腰直角三角形，AC=CN可得∠CAN=90°，設旋轉角為，可知旋轉過程中∠ABC=120°+，可得∠ABC=180°時，∠CAN=90°，進而求出的度數即可．

（1）AC與CN數量關系為：AC=CN．理由如下：

∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB，

∵EN∥AD，∠DAB=90°，

∴∠MEN=∠MDA．∠BEN=90°，

∵∠BEC=30°，∠BCE=90°，

∴∠CEN=120°，∠ABC=120°，

∴∠CEN=∠ABC，

∵M為DE的中點，

∴MD=ME，

在△MEN與△MDA中，，

∴△MEN≌△MDA（ASA），

∴EN=AD，

∴EN=BC．

在△ABC與△CEN中，，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（2）結論仍然成立．理由如下：

與（1）同理，可證明△MEN≌△MDA，

∴EN=BC．

設旋轉角為α，

∴∠ABC=120°+α，

∵∠ABD=30°，

∴∠DBE=150°-α，

∵BD=BE，

∴∠BED=∠BDE=（180°-∠DBE）=15°+α，

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+α）=75°+α，

∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+α）+（75°+α）=120°+α，

∴∠ABC=∠CEN，

在△ABC與△CEN中，，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（3）如圖，設旋轉角為，

∵圖1中∠ABC=120°，

∴旋轉過程中，∠ABC=120°+，

∵△CAN為等腰直角三角形，AC=CN，

∴∠CAN=90°，

∴當∠ABC=180°時，∠CAN=90°，即點A、B、C在一條直線上，點N、E、C在一條直線上．

∴=180°-120°=60°

∴△CAN能成為等腰直角三角形，此時旋轉角為60°．