Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．
（1）求證：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，

∴∠BAD=∠CDA，

而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，

AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，

∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，

∴△AED≌△DFA（SAS），

∴AF=DE

（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，

∵∠BAD=45°，

∴∠HAB=∠KDC=45°，

∴AB= BH= AH，

同理：CD= CK= KD，

∵S梯形ABCD= ，AB=a，

∴S梯形ABCD= = ，

而S△ABE=S△DCF= a2，

∴ =2× a2，

∴BC= a．

【解析】（1）根據等腰梯形的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和等腰梯形的性質是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個角相等；兩條對角線相等．