【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AC的表達式為
，直線
與直線
相交于點
，有一動點
在線段和線段上運動．
（1）求直線的表達式．
（2）求
的面積．
（3）是否存在點M，使
的面積是的面積的
？若存在請直接寫出點M的坐標．
【答案】（1）y=
x；（2）12；（3）M的坐標為（1，）或（1，5）．
【解析】
（1）利用待定系數法求直線OA的解析式；
（2）根據三角形面積公式計算；
（3）根據三角形的面積公式可判斷M的橫坐標是1，然后把x=1分別代入OA和AC的解析式中計算對應的函數值即可得到M點的坐標．
（1）設直線OA的表達式為y=kx，將點A（4，2）代入得2=4k，解得k=，
所以直線AB的解析式為y=x；
（2）在y=-x+6中，當x=0，y=6，則C（0，6），
S△OAC=×6×4=12；
（3）∵當△OMC的面積是△OAC的面積的
時，
∴M的橫坐標是×4=1，
當點M在線段OA上時，把x=1代入y=x得y=，則此時M（1，）；
當點M在線段AC上時，把x=1代入y=-x+6得y=5，則此時M（1，5），
綜上所述，M的坐標為（1，）或（1，5）．
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【題目】（觀察）
，
，
，……，
，
，
，
，
，……，
，
，
.
（發現）
根據你的閱讀回答問題：
(1)上述內容中，兩數相乘，積的最大值為______；
(2)設參與上述運算的第一個因數為
，第二個因數為
，用等式表示與的數量關系是____.
（類比）
觀察下列兩數的積：1×49，2×48，3×47，4×46，……m×n，……46×4，47×3，48×2，49×1
猜想
的最大值為_______，并用你學過的知識加以證明.
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【題目】（背景介紹）勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在1994年構造發現了一個新的證法．
（小試牛刀）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD= ，
S△EBC= ，
S四邊形AECD= ，
則它們滿足的關系式為 ，經化簡，可得到勾股定理．
（知識運用）（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離．
（知識遷移）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數式
最小值（0＜x＜16）
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【題目】甲、乙兩人進行射擊選拔賽，各射擊10發子彈，成績如下表：
環數命中 | 5環 | 6環 | 7環 | 8環 | 9環 | 10環 |
甲（次） | 1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 |
乙（次） | 0 | 2 | 0 | 5 | 2 | 1 |
（1）計算甲、乙的平均成績．
（2）如果你是甲、乙的教練，你會選擇誰去參加正式比賽？為什么？
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【題目】如圖，在ABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．
（1）求證：AB=CF；
（2）連接DE，若AD=2AB，求證：DE⊥AF．
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【題目】如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.
（1）在圖1中，DE交邊AB于M，DF交邊BC于N，證明:DM＝DN；
（2）在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；
（3）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.
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【題目】如圖，兩直線l1：y＝kx﹣2b+1和l2：y＝（1﹣k）x+b﹣1交于x軸上一點A，與y軸分別交于點B、C，若A的橫坐標為2.
（1）求這兩條直線的解析式；
（2）求△ABC的面積．
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【題目】小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，把手AM的仰角α=37°，此時把手端點A、出水口B和點落水點C在同一直線上，洗手盆及水龍頭的相關數據如圖2.（參考數據：sin37°=
，cos37°=
，tan37°=
）
求把手端點A到BD的距離；
求CH的長.
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