Question

（本小題10分）如圖11，已知二次函數y= -x² +mx +4m的圖象與x軸交于
A(x₁，0)，B(x₂，0)兩點(B點在A點的右邊)，與y軸的正半軸交于點C，且(x₁+x₂)- x₁x₂=10.
（1）求此二次函數的解析式.
（2）寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；
（3）連結BM，動點P在線段BM上運動（不含端點B，M），過點P作x軸的垂線，垂足為H，設OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S.請探究：四邊形PCOH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由.

Answer 1

解：（1）由根與系數的關系，得
∵(x₁+x₂) -x₁x₂=10，
∴ m + 4m =10， m=2.
∴二次函數的解析式為y = -x² +2x +8.
（2）由-x² +2x +8=0，解得x₁= -2，x₂=4.
y = -x² +2x +8= -(x-1)²+9.
∴B，C，M的坐標分別為B(4，0)，C(0，8)，M(1，9).
（3）如圖，過M作MN⊥x軸于N，則ON=1，MN=9，OB=4，BN=3.

∵OH=t(1<t<4)，∴BH=4-t.
由PH∥MN，可求得PH=3BH=3(4-t)，
∴S=(PH+CO)·OH
=(12-3t+8)t
= -t²+10t(1<t<4).
S= -t²+10t= -(t-)²+.
∵1<<4.
∴當t=時，S有最大值，其最大值為.

解析