Question

請閱讀下面材料：
若， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，證明直線為此拋物線的對稱軸.
有一種方法證明如下：

① ②

證明：∵，是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，       

     ∴        且 ≠. 
①-②得 .
∴.
∴.
又∵ 拋物線（a ≠ 0）的對稱軸為，
∴ 直線為此拋物線的對稱軸.
（1）反之，如果， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，直線為該拋物線的對稱軸，那么自變量取，時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數當x = 4 時的函數值與x = 2007 時的函數值相等，求x = 2012時的函數值.

Answer 1

（1）略
（2）2011解析:
解：（1）結論：自變量取，時函數值相等． …………………1分
證明：∵，為拋物線上不同的兩點，

① ②

              由題意得         且≠．

          ①-②，得 .
……………………………………………………………2分
∵ 直線是拋物線（a ≠ 0）的對稱軸，
∴.
∴.
∴，即.………………3分
（閱卷說明：其他代數證明方法相應給分；直接利用拋物線的對稱性而
沒有用代數方法進行證明的不給分）
（2）∵ 二次函數當x = 4 時的函數值與x = 2007 時的函數值相等，
∴ 由閱讀材料可知二次函數的對稱軸為直線.
∴ ，.
∴ 二次函數的解析式為. …………………………………4分
∵，
由（1）知，當x = 2012的函數值與時的函數值相等.
∵ 當x =時的函數值為，
∴ 當x =" 2012" 時的函數值為2011. …………………………………………