Question

【題目】如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點E．

（1）求證：AD是半圓O的切線；

（2）連結CD，求證：∠A=2∠CDE；

（3）若∠CDE=30°，OB=2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OD，BD，根據圓周角定理得到∠ABO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據等式的性質得到∠ADO=∠ABO=90°，根據切線的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結論；
（3）根據已知條件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根據平角的定義得到∠BOD=180°-54°=126°，然后由弧長的公式即可計算出結果．

試題解析：（1）連接OD，BD，

∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°;
又∵OD是圓O的半徑，∴AD是半圓O的切線；

（2）證明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠COD
∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE；

（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°-54°=126°，
∵OB=2，∴