Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點B在x軸的負半軸上，且.

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）若P是拋物線上且位于直線上方的一動點，求的面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）在線段上是否存在一點M，使的值最小？若存在，請求出這個最小值及對應的M點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積的最大值為，此時；（3）當時，的最小值為.

【解析】

（1）根據求出B點坐標，設交點式，用待定系數法即可求出函數關系式；

（2）作PD⊥x軸，與線段AC相交于D，根據表示的面積，利用二次函數的性質即可求出的面積的最大值及此事P點坐標；

（3）構造CM為斜邊的等腰三角形，它的直角頂點為第一象限內的N，可得出=最小值即為BN.設可表示N點坐標，繼而可表示，利用二次函數的性質即可求的最小值，以及此時M點坐標.

解：（1）∵，

∴OA=3，OB=1

∴

∴設拋物線的交點式為，

將代入得，解得

∴，

即該拋物線的函數關系式為.

（2）作PD⊥x軸，與線段AC相交于D.

設直線AC：y=kx+d

將,分別代入

得，解得，

所以y=-x+3.

設，則，

設△DCP以PD為底時高為h1，△DAP以PD為底時高為h2，則因為，所以時取得最大值為..

故的面積的最大值為，此時.

（3）存在，如下圖，作以CM為斜邊的等腰三角形，它的直角頂點為第一象限內的N點，

∵△MCN為等腰直角三角形，

∴MN=,即要使最短，只需要最短為BN即可，

設則，

∴

當時，取得最小值為8，即.

當時，的最小值為.