Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點，拋物線y=x²+bx+3與x軸的負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，tan∠ABO=

1

3

，頂點為P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線向上或向下平移|k|個單位長度后經過點C（-5，6），試求k的值及平移后拋物線的最小值；
（3）設平移后的拋物線與y軸相交于D，頂點為Q，點M是平移的拋物線上的一個動點．請探究：當點M在何位置時，△MBD的面積是△MPQ面積的2倍求出此時點M的坐標．友情提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

（1）令x=0，則y=3．
∴B點坐標為（0，3），OB=3．
∵tan∠OAB=

OA

AB

=

OA

3

=

1

3

，
∴AO=1．
∴A點坐標為（-1，0）．
∴0=（-1）²+b（-1）+3．
求得b=4．
∴所求的拋物線解析式為y=x²+4x+3．

（2）設平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3+k．
∵它經過點（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的拋物線的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，對稱軸為x=-2．
又S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD邊上的高是PQ邊上的高的2倍．
設M點坐標為（m，n）．
①當M點的對稱軸的左側時，則有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②當M點在對稱軸與y軸之間時，則有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-

4

3

．
∴n=（-

4

3

）²+4（-

4

3

）+1=-

23

9

．
∴M（-

4

3

，-

23

9

）．
③當M點在y軸的右側時，則有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合題意，應舍去．
綜合上述，得所求的M點的坐標是（-4，1）或（-

4

3

，-

23

9

）．