Question

在矩形ABCD中，△ABD沿對角線BD對折，A與A′重合，AD=8，AB=6，A′D與BC相交于O．
（1）求證：△A′BO≌△DOC．
（2）求BO的長．
（3）求證：四邊形A′CDB為等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）由∠OA′B=∠OCD，∠BOA′=∠OCD，A′B=CD，易證△A′BO≌△DOC．
（2）由BO+OC=8，OB²=OD²=OC²+36，可解出OB的值．
（3）先證四邊形A′CDB為梯形，由（1）中△A′BO≌△DOC，可得

OB

OC

=

OD

OA′

，由平行線分線段成比例定理可證A′C∥DB，再說明是等腰梯形得證．

解答：（1）證明：在△A′BO與△DOC中，

∠BOA′=∠OCD ∠OA′B=∠OCD A′B=CD

，
∴△A′BO≌△DOC（AAS）；

（2）解：BO+OC=8，OB²=OD²=OC²+36，
解得BO=6.25（4分）

（3）證明：∵△A′BO≌△DOC，
∴OB=OD，OC=OA′，
∴

OB

OC

=

OD

OA′

，
∴A′C∥DB，
又∵A′B=CD，
∴四邊形A′CDB為等腰梯形．（4分）

點評：本題綜合考查了三角形全等的判定，等腰梯形的判定，以及用方程思想解決幾何問題等知識．