Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G．
（1）求證：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵AB與⊙O相切與點D，又AC與⊙O相切與點，

∴AC=AD，∵OC=OD，

∴OA⊥CD，

∴CD⊥OA，

∵CF是直徑，

∴∠CDF=90°，

∴DF⊥CD，

∴DF∥AO．

（2）過點作EM⊥OC于M，

∵AC=6，AB=10，

∴BC= =8，

∴AD=AC=6，

∴BD=AB﹣AD=4，

∵BD2=BFBC，

∴BF=2，

∴CF=BC﹣BF=6．OC= CF=3，

∴OA= =3 ，

∵OC2=OEOA，

∴OE= ，

∵EM∥AC，

∴ = = = ，

∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，

∴ = = = ，

∴CG= EM=2．

【解析】（1）欲證明DF∥OA，只要證明OA⊥CD，DF⊥CD即可；（2）過點作EM⊥OC于M，易知 = ，只要求出EM、FM、FC即可解決問題；
【考點精析】掌握切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．