Question

【題目】如圖，拋物線y=交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2）.

（1）求該拋物線的解析式。

（2）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上。

①若點(diǎn)P在x軸上方，且△APN是等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P在x軸下方，且△APN∽△BOC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）y=；

（2）①點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，0）或（5，0）；

②N的坐標(biāo)為（5，0）或（6.5，0）或（8，0）或（44，0）．

【解析】

試題分析：（1）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可得到關(guān)于b，c的方程組，從而求得b，c的值，求得函數(shù)的解析式；

（2）①首先由點(diǎn)P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，得出點(diǎn)A不可能是直角頂點(diǎn)，那么當(dāng)△APN是等腰直角三角形時(shí)，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（t，）．再分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作⊥x軸于點(diǎn)，則=，依此列出方程=t+1，解方程求出N1的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)，則AP=，那么= =2-（-1）=3，則=2+3=5，的坐標(biāo)可求；②先由拋物線解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)，得出直角頂點(diǎn)可能是P點(diǎn)或N點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（t，），則t+2＜0．再分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，則∠PAB=∠OBC．過P作⊥x軸于點(diǎn)N1，則∽△BOC，N1（t，0）．由∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出t的值，得出點(diǎn)N1的坐標(biāo)；過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)，則∽△BOC．由∽△，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出t的值，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點(diǎn)P，過P作⊥x軸于點(diǎn)，則∽△COB，（t，0）．由∽△COB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出t的值，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)N4，則∽△COB．由∽，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出t的值，得出點(diǎn)N4的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵拋物線y=過點(diǎn)A（-1，0），C（0，2），∴，解得，∴該拋物線的解析式是：y=；

（2）①∵點(diǎn)P、A、B都在拋物線上，且A、B在x軸上，∴點(diǎn)A不可能是直角頂點(diǎn)，則∠PAN=45°．如圖，作∠BAP=45°，AP交拋物線于點(diǎn)P．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（t，）．

（Ⅰ）過點(diǎn)P作⊥x軸于點(diǎn)，則=，即-=t+1，解得=2， =-1（不合題意舍去），所以的坐標(biāo)是（2，0）；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)，則AP=，= =2-（-1）=3，則=2+3=5，所以的坐標(biāo)是（5，0）；綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，0）或（5，0）；

②∵y=，∴當(dāng)y=0時(shí)，=0，解得x=-1或4，∵A（-1，0），∴B（4，0），∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．∵△BOC是直角三角形，∴當(dāng)△ANP與△BOC相似時(shí)，△ANP也是直角三角形，∵A點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)，∴直角頂點(diǎn)可能是P點(diǎn)或N點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（t，），則＜0．

（Ⅰ）過A作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，則∠PAB=∠OBC．過P作⊥x軸于點(diǎn)，則∽△BOC，（t，0）．∵∽△BOC，∴=，∴===2，∴AN1=2N1P，即t+1=2（），解得=5，=-1（不合題意舍去），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，-3），點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，0）；過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)，則∽△BOC．∵∽，∴，∴==1.5，∴==5+1.5=6.5，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（6.5，0）；

（Ⅱ）在x軸下方作∠BAP=∠OCB，交拋物線于點(diǎn)P，過P作⊥x軸于點(diǎn)，則∽△COB，（t，0）．∵∽△COB，∴，∴=，∴，即=2（t+1），解得=8，=-1（不合題意舍去），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（8，-18），點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，0）；過點(diǎn)P作⊥AP，交x軸于點(diǎn)，則∽△COB．∵∽，∴，∴==36，∴=8+36=44，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（44，0）；綜上所述，所求點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，0），（6.5，0），（8，0），（44，0）．