Question

（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：

小題1:（1）D是BC的中點；小題2:（2）△BEC∽△ADC；小題3:（3）BC²=2AB·CE．

Answer 1

小題1:（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
即AD是底邊BC上的高．    ………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中點；………… ……………………………………………2分
小題2:（2）證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．……………………………………………2分
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………1分
小題3:（3）證明：由△BEC∽△ADC，知，
即CD·BC=AC·CE．…………………………………………………2分
∵D是BC的中點，∴CD=BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE
即BC=2AB·CE．………………………………………2分

略