Question

（1）請從所給三個代數式：a²-1，a²-a，a²-2a+1中任選兩個（一個作為分子，一個作為分母）構造一個分式，并化簡該分式．
（2）解分式方程：

x

x+1

+

2

x-1

=1；
（3）已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）要構造分式，可令其中一個式子做分母，另外一個做分子即可．然后將分子和分母分別進行因式分解或提取公因式，然后再進行約分、化簡就能得出所求的結果；
（2）觀察可得最簡公分母是：（x-1）（x+1），方程兩邊同時乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解；
（3）先根據勾股定理求出BD的長度，再根據勾股定理的逆定理判斷出△BCD是直角三角形，則四邊形ABCD的面積是兩個直角三角形的面積和．

解答：解：（1）∵a²-1，a²-a，a²-2a+1中任選兩個構造一個分式，可以選前兩個，
∴

a2-1

a2-a

=

(a+1)(a-1)

a(a-1)

=

a+1

a

；

（2）方程兩邊同乘（x-1）（x+1），
得x（x-1）+2（x+1）=（x-1）（x+1），
x²-x+2x+2=x²-1，
解得x=-3．
經檢驗：x=-3是原方程的解．
故原方程的解為：x=-3；

（3）∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD=

AB2+AD2

=5cm，
在△BCD中，∵BD²+CD²=25+144=169=BC²，
∴△BCD是直角三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD
=

1

2

AB•AD+

1

2

BD•CD
=

1

2

×3×4+

1

2

×5×12
=36．
故四邊形ABCD的面積是36．

點評：本題考查（1）分式的化簡，分子、分母能因式分解的先因式分解；
（2）解分式方程的能力，注意：解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；解分式方程一定注意要驗根；
（3）勾股定理及逆定理的應用，判斷△BCD是直角三角形是關鍵．