Question

已知：如圖，△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．

求證：（1）AD＝BD；

（2）DF是⊙O的切線．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證法一：連結CD，     

　

∵BC為⊙O的直徑

       ∴CD⊥AB                              

　　　 ∵AC＝BC

　　　 ∴AD＝BD．              

證法二：連結CD，    

　∵BC為⊙O的直徑

∴∠ADC＝∠BDC＝90°

∵AC＝BC，CD＝CD

∴△ACD≌△BCD      

∴AD＝BD                       

（2）證法一：連結OD，      

　

　∵AD＝BD，OB＝OC

　　∴OD∥AC               

　　∵DE⊥AC 

    ∴DF⊥OD                       

　　∴DF是⊙O的切線．    

證法二：連結OD，  

　　　　∵OB=OD

　　　　∴∠BDO＝∠B            

　　　　∵∠B＝∠A

　　　　∴∠BDO=∠A       

　　　　∵∠A+∠ADE＝90°

　　　　∴∠BDO＋∠ADE＝90°

　　　　∴∠ODF=90°           

　　　　∴DF是⊙O的切線．   

【解析】（1）由于AC=AB，如果連接CD，那么只要證明出CD⊥AB，根據等腰三角形三線合一的特點，我們就可以得出AD=BD，由于BC是圓的直徑，那么CD⊥AB，由此可證得．

（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．