Question

已知：如圖，直線l：y=x+b，經過點M（0，），一組拋物線的頂點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n為正整數）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0），設x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）求經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式（用含d的代數式表示）；
（3）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．探究：當d（0＜d＜1）的大小變化時，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請你求出相應的d的值．

Answer 1

解：（1）∵M（0，）在y=x+b上，
∴=×0+b，
∴b=；

（2）由（1）得：y=x+，
∵B₁（1，y₁）在l上，
∴當x=1時，，
∴．
解法一：
∴設拋物線表達式為：y=a（x-1）²+（a≠0），
又∵x₁=d，
∴A₁（d，0），
∴0=a（d-1）²+，
∴a=-，
∴經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式為：
y=-（x-1）²+．
解法二：
∵x₁=d，
∴A₁（d，0），A₂（2-d，0），
∴設y=a（x-d）•（x-2+d）（a≠0），
把代入：=a（1-d）•（1-2+d），
得，
∴拋物線的解析式為y=-（x-d）•（x-2+d）；

（3）存在美麗拋物線．
由拋物線的對稱性可知，所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，
又∵0＜d＜1，
∴等腰直角三角形斜邊的長小于2，
∴等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點的縱坐標必小于1．
∵當x=1時，，
當x=2時，，
當x=3時，，
∴美麗拋物線的頂點只有B₁、B₂．
①若B₁為頂點，由，則；
②若B₂為頂點，由，則，
綜上所述，d的值為或時，存在美麗拋物線．
分析：（1）把（0，）代入y=x+b中，可求出b的值；
（2）由（1）可得函數解析式，y=x+，把（1，y₁）代入一次函數式，可求出y₁，根據圖象可知，經過A₁、B₁、A₂的二次函數的頂點就是B₁，故其對稱軸就是x=1，那么可設函數解析式為：y=a（x-1）²+，再把A₁的值代入函數式，可求出a的值，那么就可得到二次函數的解析式；
（3）存在．根據拋物線的對稱性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜邊上的高等于斜邊的一半，再由d的取值范圍，可知斜邊小于2，再把x=1，x=2，x=3…代入一次函數中，可求出相應y的值，看哪些小于1，即是所求，然后再求出d的相應數值．
點評：本題主要考查了利用了二次函數的對稱性，以及等腰直角三角形的性質，要結合圖形進行分析．