Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P、點E分別是邊AB、BC上的動點，連結DP、PE．將△ADP與△BPE分別沿DP與PE折疊，點A與點B分別落在點A′，B′處．

(1) 當點P運動到邊AB的中點處時，點A′與點B′重合于點F處，過點C作CK⊥EF于K，求CK的長；

(2) 當點P運動到某一時刻，若P，A'，B'三點恰好在同一直線上，且A'B'＝4 ，試求此時AP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）,PA的長為2或6．

【解析】

（1）由折疊的性質可得E ,F,D三點在同一直線上，在Rt△DEC中,根據勾股定理可求出BE，CE，DE的長，再根據面積法即可求出CK的值；

（2）分兩種情況進行討論：根據A′B′＝4列出方程求解即可.

⑴如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，將△ADP與△BPE分別沿DP與PE折疊，

∴∠PFD＝∠PFE＝90°,

∴∠PFD＋∠PFE＝180°,即：E ,F,D三點在同一直線上．

設BE＝EF＝x,則EC＝6－x,

∵DC＝AB＝8, DF＝AD＝6,

在Rt△DEC中,∵DE＝DF＋FE＝6＋x, EC＝6－x, DC＝8,

∴(6＋x)2＝(6－x)2＋82,

計算得出x=,即BE＝EF＝,

∴DE＝, EC＝,

∵S△DCE＝DCCE＝DECK,

∴CK＝；

⑵①如圖2中,設AP＝x,則PB＝8－x,

由折疊可知：PA′＝PA＝x , PB′＝PB＝8－x,

∵A′B′＝4,

∴8－x－x＝4,

∴x＝2, 即AP＝2．

②如圖3中,

∵A′B′＝4,

∴x－(8－x)＝4, ∴x＝6, 即AP＝6．

綜上所述,PA的長為2或6．