Question

【題目】已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC；

（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；

（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝﹣t2+6t．（3）不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分；（4）t＝s

【解析】

（1）只要證明△APQ∽△ABC，可得=，構建方程即可解決問題；（2）過點P作PE⊥AC于E，則有△APE∽△ABC，由相似三角形的性質構建二次函數即可解決問題；（3）由題意可求Rt△ACB的周長和面積，當線段PQ恰好把Rt△ACB的周長平分，可得AP+AQ＝×24＝12，可求t的值，代入y與t之間的函數關系式，可求出y≠12，則不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分；（4）連接P'P交AC于點O，由△APO∽△ABC，可得=，即=，可得AO＝，由菱形的性質可得OQ＝OC，構建方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm），

∵點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；

∴BP＝t，AQ＝2t，則AP＝10﹣t，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=

∴=

∴t＝

∴當t＝s時，PQ∥BC．

（2）如圖，過點P作PE⊥AC于點E，

∵PE⊥AC，BC⊥AC，

∴PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PE＝6﹣t，

∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t．

（3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，

∴△ABC的周長為24cm，△ABC的面積為24cm2，

∵線段PQ恰好把Rt△ACB的周長平分，

∴AP+AQ＝×24＝12，

∴10﹣t+2t＝12，

∴t＝2，

當t＝2時，y＝﹣×4+12≠×24，

∴不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分．

（4）如圖，連接P'P交AC于點O，

∵四邊形PQP′C為菱形

∴PO⊥AC，OQ＝OC，

∴PO∥BC，

∴△APO∽△ABC，

∴=，，

∴=，，

∴AO＝ ，

∵OQ＝OC，

∴AO﹣AQ＝AC﹣AO，

∴2×﹣2t＝8，

∴t＝，

∴當t＝s時，四邊形PQP′C為菱形．