Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥CD交AB于E，F是BC上一點，連接EF，CF=EF．
（1）證明：∠CDF=∠EDF；
（2）當tan∠ADE=

1

3

時，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）過D作DM垂直于CB，垂足為M，由三個角為直角的四邊形為矩形可得出四邊形ABMD為矩形，再由鄰邊AD=AB，可得出四邊形ABMD為正方形，根據正方形的邊長相等可得出DM=DA，由CD垂直于DE，可得出∠CDM與∠EDM互余，又∠EDM與∠EDA互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，利用ASA可得出三角形CDM與三角形EDA全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出DC=DE，又DF=DF，CF=EF，利用SSS可得出三角形CFD與三角形EFD全等，由全等三角形的對應角相等可得證；
（2）由四邊形ABMD為邊長是6的正方形，得到四條邊相等都等于6，又三角形CDM與三角形EDA全等，得到AE=CM，∠CDM=∠ADE，由tan∠ADE的值得到tan∠CDM的值，在直角三角形CDM中，利用銳角三角函數定義由DM的長求出CM的長，即為AE的長，設EF=CF=x，則有FB=8-x，EB=6-2=4，在直角三角形EFB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

解答：解：（1）過D作DM⊥CB，垂足為M，

∴∠DMB=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABMD為矩形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABMD為正方形，
∴AD=MD，
∵DE⊥DC，∴∠CDE=90°，
∴∠CDM+∠MDE=90°，
又∵∠EDA+∠MDE=90°，
∴∠CDM=∠EDA，
在△CDM和△EDA中，

∠CDM=∠EDA DM=DA ∠DMC=∠DAE=90°

，
∴△CDM≌△EDA（ASA），
∴CD=ED，
在△CFD和△EFD中，

CD=ED CF=EF DF=DF

，
∴△CFD≌△EFD（SSS），
∴∠CDF=∠EDF；
（2）∵正方形ABMD的邊長為6，∴AD=AB=MB=DM=6，
∵△CDM≌△EDA，
∴AE=CM，∠CDM=∠EDA，
∴tan∠CDM=tan∠ADE=

1

3

，
在Rt△CDM中，tan∠CDM=

CM

DM

=

1

3

，
∴AE=CM=2，CB=CM+MB=2+6=8，
設CF=EF=x，FB=8-x，EB=AB-AE=4，
在Rt△EFB中，根據勾股定理得：EF²=FB²+EB²，
即x²=（8-x）²+4²，解得：x=5，
則EF=5．

點評：此題考查了直角梯形的性質，全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．