Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P，已知 BC∶CA=4∶3，點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q。
（1）求證：△ABC∽△PQC；
（2）當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；
（4）當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長。

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB =90°， 在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°， ∵∠CPQ=∠CAB， ∴△ABC∽△PQC； （2）當點P運動到與點C關于AB對稱時，此時CP⊥直徑AB于D， ∴CP=2CD， ∵AB=10， BC∶CA=4∶3， ∴BC=8，AC=6， 又∵AC·BC=AB·CD， ∴CD=4.8， ∴CP=2CD=9.6， ∵△ABC∽△PQC， ∴， ∴CQ=12.8， （3）因為點P在⊙O上運動過程中，始終有△ABC∽△PQC， 所以PC最大時，CQ取到最大值， ∴當PC過圓心O，即PC 取最大值10時，CQ最大，最大為； （4）當點P運動到弧CP的中點時，如圖所示，過點B作BE⊥PC于點E， ∵P是弧AB的中點，∠PCB=45°， ∴∠PCA=45°，在Rt△CBE中，  ∴CE=BE=4， 易證：△ABC∽△PBE， ∴PE=3， ∴CP=7， ∴CQ=7×=。