Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，CD與⊙O相切于點D，連結AD．

(1)求證：AD∥OC．

(2)小聰與小明在做這個題目的時候，對∠CDA與∠AOC之間的關系進行了探究：

小聰說，∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值；

小明說，∠CDA+∠AOC的值隨∠A度數的變化而變化.

若∠CDA+∠AOC的值為y，∠A度數為x．你認為他們之中誰說的是正確的?若你認為小聰說的正確，請你求出這個固定值：若你認為小明說的正確，請你求出y與x之間的關系．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)小聰說的對，∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值，270°.

【解析】

（1）連結OD，根據切線性質得∠ODC=∠OBC=90°，由全等三角形判定HL得Rt△ODC≌Rt△OBC，根據全等三角形性質得∠DOC=∠BOC，根據三角形內角和定理和平角得∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，從而可得∠ODA=∠DOC，由平行線判定即可得證.

（2）小聰說的對，∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值，理由如下：根據題意可得90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，由平行線性質得∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，兩式聯立可得90°+180°=y=270°.

解：(1)連結OD，如圖：

，

∵ BC與⊙O相切于點B，CD與⊙O相切于點D，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∵OD=OB，OC=OC，

∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，

∴∠DOC=∠BOC，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，

∴∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，

∴∠ODA=∠DOC，

∴AD∥CO.

(2)小聰說的對，∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值，理由如下：

∵∠CDA+∠AOC=y，∠A=x，

∴∠ODA=∠OAD=x，∠ODC+∠ODA+∠AOC=y，

∵∠ODC=90°，

∴90°+x+∠AOC=y，

即x+∠AOC=y-90°，

∵AD∥CO，

∴∠OAD+∠AOC=180°，

即x+∠AOC=180°，

∴90°+180°=y，

即y=270°，

∴小聰說的對，∠CDA+∠AOC的值是一個固定的值.