Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連結CE交AD于點F，連結BD交CE于點G，連結BE.下列結論：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝BD·CE；⑤BC2＋DE2＝BE2＋CD2.其中正確的結論有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“邊角邊"證明△ABD和△ACE全等，根據全等三角形對應邊相
等可得CE＝BD，判斷①正確；根據全等三角形對
應角相等可得∠ABD＝∠ACE，從而求出∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，從而得到BD⊥CE，根據四邊形的面積判斷出
④正確；根據勾股定理表示出，得到⑤正確；再求出AE∥CD時，∠ADC＝90°，判斷出②錯誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯誤.

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC, AD＝AE,

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD,
∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90＋∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAB),

∴CE＝BD，①正確；
∠ABD＝∠ACF
∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°,
在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)

＝180°－ 90°＝90°
∴BD⊥CE,

∴四邊形ABCD的面積＝故④正確；
由勾股定理，在Rt△BCG中

由勾股定理，在Rt△DEG中，
∴
在Rt△BGE中，
在Rt△CDG中,
∴

∴

故⑤正確；

只有AE∥CD時，∠AEC＝∠DCE，
∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°
無法說明AE∥CD，故②錯誤；
∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB＝∠AEC
∵∠AEC與∠AEB相等無法證明，
∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③錯誤；
綜上所述，正的結論有①④⑤共3個.
故選C.